[Review]Reset! 수학 - 미적분

오늘 정리할 책은 "Reset! 수학 (미적분)"이다.

저번에 "확률과 통계"편을 했었는데 이 시리즈가 쉽지 않은 개념들을 쉽게 풀어놔서 다른 거는 어떤식으로 설명을 했나 궁금했다.

책의 차례를 보면 아래와 같다.

1. 적분부터 이해하자

2. 미분은 적분의 도우미

3. 미분을 다시 생각하다

4. 미분과 적분의 관계

1장 "적분부터 이해하자"에서는 우리가 고등학교때 배운 미분, 적분의 공식에 대해서 정말 간략하게 설명을 하고나서 우선은 적분부터 알아보자고 한다. 그리고 적분이 어떻게 처음 발겼됐는지와 적분의 개념을 설명한다. 처음 생긴 유래로 설명을 드는게 땅의 넓이를 구하는 것이라고 한다. 직선으로 잘린 땅이야 가로 * 세로로 쉽게 구할 수 있지만 고선으로 이루어진 땅의 넓이를 구해야하는 상황에서는 사각형의 넓이 구하는 공식으로는 구할 수 없기 때문에 적분의 개념이 필요하다는 것이다. 하지만 뒤에서 설명하는 글을 보면 결국 곡선으로 둘러쌓인 공간도 사각형 넓이를 구하는 방식과 동일한 방식으로 구한다. 단! 보통 사각형이 아닌 무수히 작게 나눈 사각형으로 구하고자 하는 넓이를 채운다는 개념이다. 그리고 적분의 공식은 이렇게 생겼다~ 하는 설명도 있다.

2장 "미분은 적분의 도우미"에서는 적분의 딜레마에 대한 이야기를 하고 이 딜레마를 해결하기 위한 방법이 미분이라는 설명을 한다. 우선, 적분의 딜레마란, 구하고자 하는 곡선으로 둘러싸인 넓이 안에 아무리 사각형을 작게한다고 해도 결국 도저히 사각형이 들어가지 않는 부분에 대한 크기만큼 오차가 생긴다는 것이다. 그렇다면 어떻게해야 이런 오차 없이 완벽한 크기를 구할 수 있을까? 라는 의문을 제기하고 그 해결법으로 미분을 소개한다. 미분을 이용해서 적분을 계산하면 된다는 것이다. 여기서, 나도 잘 못 알고 있던 부분이 있었는데 나는 여태까지 미적분을 뉴턴과 라이프니츠에 의해 발견되었다고 알고 있었다. 하지만, 이미 미분, 적분에 대한 개념은 옛날부터 있었고 뉴턴과 라이프니츠의 업적은 미분과 적분은 서로의 역연산이라는 것을 발견해 냈던 것이었다. 또 한가지, 적분이 미분보다 훨~신 옛날부터 있던 개념이고 미분은 페르마에 의해 그 개념이 처음 나왔다는 것이었다. 그리고 추후에 (내가 정말 좋아하는) 수학자 레온하르트 오일러에 의해 정리 / 발전하게 된다.

3장 "미분을 다시 생각하다"에서는 미분이 무엇인지에 대한 내용을 이야기한다. 적분이 변화하는 양을 어떻게 모으느냐와 관련된 방법이라면, 미분은 변화하는 상태를 조사하는 방법이라고 한다. 그래프로 얘기하면 적분이 그래프에서 f(x) 아래의 넓이를 구하는 것이라면 미분은 f(x)의 순간 기울기를 구하는 것이다. 그 외에 미분을 어떻게 구하는지도 소개되고 있는데, 적분에서는 구할려고 하는 넓이에 사각형의 x축 길이를 무수히 작게해서 넓이를 구했다면, 미분에서는 f(x)위의 특정 두지점의 기울기를 구하고 그 중 한점을 나머지 한점에 무한히 가까워지게하여 순간 기울기를 구할 수 있다는 설명을 하고 있다.

4장 "미분과 적분의 관계"에서는 적분과 미분이 서로 역연산이라를 것을 여러가지 방법으로 설명하고 있다. 자세한 내용은 책을 보면 될꺼고, 결론만 말하면 "미분해서 f(x)가 나오는 식이 f(x)의 적분"이라는 얘기하다. 원래되로라면 "f(x)의 적분"에는 아래 그림이 나와야 한다.

위의 그림의 a, b가 있는 형태를 정적분이라고 부르고 a, b를 제거하면 부정적분이라고 부른다. 정적분은 f(x)에서 f(a)에서 f(b)까지의 넓이를 말하는 것이고, 부정적분은 함수 f(x)의 전체 넓이를 말하는 것이다. 참고로 저 키가 큰 S와 같이 기호는 "인테그랄"이라고 부르고 라이프니츠에 의해 고안됐다. 그 외에 미분과 적분의 관계를 설명하고 있는데 "미분과 적분은 무한이라는 개념을 두고 긴밀하게 연결되어 있다"라는 말이 인상적이었다.

이 책의 전체적인 내용은 이렇다. 이번책은 확률과 통계에 비해 개념보다는 공식에 대해서 더 많은 비중으로 가지고 설명을 했던거 같다. 아무래도 이 책에서의 하이라이트(?)라고도 말할 수 있는 미분과 적분이 서로의 역연산이다 라는 것에 대해서 설명을 하기 위해서는 어쩔수 없는 부분이기도 했던거 같다. 이번책에서는 특별히 새로운 내용은 없었던거 같다. 중고등학교 때 학교에서는 설명해주는 거에 조금 더 친절한 해설과 비하인드 스토리가 있는 정도 였던거 같다. 저번의 책도 그렇고 아무래도 이 시리즈는 수학과는 등돌린 사람을 대상으로 쓰여진거 같다. 앞으로 2권 남았다...